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La enseñanza de las operaciones aritméticas: Aspectos fundamentales a priorizar (Parte III)

Se pueden definir las operaciones aritméticas como un conjunto de acciones por las cuales se transforman numéricamente unas cantidades en otras; una función dentro de un campo numérico, que relaciona todos los pares ordenados con su resultado.
El papel del lenguaje y las representaciones simbólicas (Significados y Significantes)

"Son los sistemas que una situación o un significante evoca en el individuo lo que constituye el sentido de la situación."

Una situación, en tal como fue definida, exige al niño en primer término analizar y comprender el enunciado del problema, lo que supone una operación lingüística que pone en juego las representaciones simbólicas de los sujetos.

Desde hace varios años en el campo de la didáctica se ha asumido el aporte cognitivista de la estructuración del pensamiento en esquemas y, para su desarrollo de representaciones.

Frente a un problema, el niño debe desarrollar alguna clase de representación para su resolución, esto nos habla de dos procesos que si bien están estrechamente ligados, son diferentes. El primero permite pensar la situación y el segundo pasar a la acción y así arribar a la resolución final.

Estas representaciones pueden agruparse en dos grandes categorías según su nivel de abstracción: las modalidades icónicas, figurativas o analógicas (aquellas que sostienen una base concreta, una relación directa con el objeto, como diagramas, puntos, colecciones, etc.) y las simbólicas (aquellas que reparan en las relaciones entre los objetos, son más abstractas y ricas en el plano operativo, y permiten identificar con mayor claridad los objetos matemáticos. Aquí se encuentran las operaciones aritméticas, que constituyen una modalidad experta y permiten dar respuesta más eficiente a una gran diversidad de situaciones, y supone un avance desde las modalidades más concretas, una construcción de lo que llamamos sentido).

En suma, el análisis de un problema (y con él de una clase de problemas), como se dijo, supone el desarrollo de esquemas. Éstos están asociados a modelos de representación lingüística que permiten 1- designar elementos y relaciones, 2- anticipar los efectos de las relaciones, 3- pensar, razonar e inferir, 4- organizar la acción, y 5- planificar y controlar.

Se reconoce pues, una triple función del lenguaje: comunicar, representar y auxiliar al pensamiento.

Relevancia didáctica de la Teoría de los Campos Conceptuales
Lo interesante de pensar didácticamente desde esta teoría es que permite visualizar el aprendizaje de las operaciones como un proceso largo y lento en el cual el sujeto construye los conceptos a partir de las diferentes facetas analizadas en cada situación presentada. Reconociendo así que la intervención docente no se agota en sí misma, ni en un nivel, sino que contribuye a complejizar este proceso.

La Teoría de los Campos Conceptuales cobra relevancia en tanto al trabajar desde la resolución de problemas, como se verá, se puede desarrollar unas secuencias de enseñanza que permitan abordar los diferentes aspectos de los conceptos matemáticos. En particular, el abordaje facetas relacionadas a las operaciones artiméticas.

A su vez se estimula el desarrollo de respuestas que en tanto invariantes, sirven para resolver problemas dentro de un mismo campo conceptual. Es decir, en tanto el niño logre abstraer de cada situación particular la regularidad, podrá luego utilizar la respuesta dada como un esquema ante situaciones del mismo tipo (lo que denomináramos clases de problemas).

Los problemas: eje de la propuesta didáctica

Actualmente se sostiene casi por unanimidad que el problema debe ser utilizado como elemento gestor del aprendizaje, sin desmedro de los otros usos que se le pueden dar a dicho recurso (p. ej. evaluación, utilización de conocimientos ya adquiridos en otros campos). Quizás lo más importante sea tener en cuenta que el problema debe tener un fuerte componente de obstáculo, siempre que el alumno se vea enfrentado a una situación que no pueda resolver mediante la simple aplicación de un esquema conocido (lo cual constituiría un ejercicio), se estará frente a un "problema".

El problema por ser una herramienta didáctica que permite no sólo la reproducción de conocimientos sino también la producción de los mismos, ejerce una acción liberadora, por lo cual es a su vez una buena opción teleológica.

¿Qué entendemos por problema?

Siguiendo a J. Brun, "Un problema generalmente se define como una situación inicial con un objetivo por alcanzar, que le pide al sujeto realizar una serie de acciones o de operaciones para alcanzar ese objetivo. Sólo hay un problema en la relación sujeto–situación, y sólo cuando la situación no está disponible de golpe pero es posible construirla.".

De esta definición vale la pena resaltar, tal como lo hace Vergnaud dos aspectos. En primer lugar, un problema para un individuo lo es sí y sólo sí tiene los conceptos que le permiten abordarlo pero además si la resolución supone la reorganización y síntesis de los mismos.

En segundo lugar que constituye una relación dialéctica entre la conceptualización y la resolución, es decir, al enfrentarse a un problema se está ante una clase de problemas. En el proceso se van desarrollando esquemas eficientes para la resolución de dicha clase de problemas. Cuando ya se construyeron los esquemas para su resolución estas situaciones dejan de ser problemas, y pasan a formar parte del repertorio que permite abordar nuevas situaciones, nuevas clases de problemas.

Definiendo las operaciones aritméticas

La Aritmética es la rama de las matemáticas que estudia ciertas operaciones de los números y sus propiedades elementales. Etimológicamente proviene del griego arithmos y techne que quieren decir números y habilidad, respectivamente.

Se pueden definir las operaciones aritméticas como un conjunto de acciones por las cuales se transforman numéricamente unas cantidades en otras; una función dentro de un campo numérico, que relaciona todos los pares ordenados con su resultado.

Así una operación es la acción de un operador sobre una selección de elementos (numéricos) de un conjunto. El operador toma los elementos iniciales del conjunto de partida y los relaciona con otro u otros elementos de un conjunto final que puede ser de la misma naturaleza o no.

En la escuela se trabaja básicamente con el campo de los números enteros, y consecuentemente se deberá investigar cuál es la definición de cada operación aritmética y sus propiedades en dicho campo. Ello aportará conocimientos que permitan elaborar las secuencias didácticas pertinentes según el aspecto de las operaciones que se desee enseñar


A continuación se intentará relacionar estos conceptos con la propuesta didáctica desarrollada: la TCC

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