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Resolución de problemas aritméticos aditivos en educación básica (Parte I)

Piaget e Inhelder (1978a) buscaban establecer si en los sujetos las operaciones inteectuales existen de forma espontánea o se aprenden socialmente.

1.  Planteamientos  de  Jean  Piaget  para  la  resolución  de  problemas  y  de formación de conceptos.

Piaget e Inhelder (1978a) buscaban establecer si en los sujetos las operaciones intelectuales existen de forma espontánea o se aprenden socialmente y si esas operaciones y sus estructuras están presentes en todos los niveles de desarrollo o si no, cuándo y cómo se constituyen. Recurrieron a una combinación de dos métodos llamados: de resolución de problemas y de formación de conceptos.

Una vez que las acciones cognitivas se organizan en totalidades estrechamente ligadas con una estructura definida y fuerte se constituyen las operaciones cognitivas de las cuales derivan las expresiones “pensamiento pre-operacional”, “operacional concreto” y “formal” y otros semejantes.

Para llegar de la acción a la operación hay tres pasos o etapas: desde el nivel sensorio-motor de acción directa sobre lo real, para llegar al nivel de las operaciones donde, al igual que en el anterior, hay trasformación de los real adicionando acciones interiorizadas y agrupadas en sistemas coherentes y reversibles. Intermedio, ocurre un progreso sobre la acción inmediata que se interioriza. Durante este proceso hay también obstáculos serios y nuevos (Piaget e Inhelder, 1978b).

De esta manera se observa cómo las operaciones del pensamiento alcanzan su forma de equilibrio cuando se constituye en sistemas de conjunto caracterizados por su composición reversible (Piaget, 1978) es así como se construyen los conceptos.

Al llegar a lo anterior, uno de los criterios más claros de la aparición de las operaciones en el nivel de las estructuras concretas se hace evidente: la constitución de invariantes o ideas de conservación; éstas se abordarán en el siguiente apartado.

 

1.1 Nociones de conservación y correspondencia

 

El conocimiento implica explícitamente principios de conservación que permitan su desarrollo hacia otros más complejos. En este sentido el pensamiento aritmético no es la excepción:

Un número es inteligible en la medida que permanece idéntico a sí mismo, cualquiera que sea su disposición de las unidades de que está compuesto: es lo que se ha llamado la ‘invarianza’ del número. (Piaget y Szeminska, 1996, p.17).

Al abordar esta noción concerniente a la génesis del número natural, Piaget estudia la conservación de las cantidades continuas (utilizando líquidos), de las cantidades discontinuas (mediante cuentas de colores o bolitas de arcilla). De esta misma forma las planteamos.

 

a) Conservación de cantidades continuas

El método empleado por Piaget y Szemenska (1996) para dar cuenta de esta noción consistió en lo siguiente:

Utilizaron  recipientes cilíndricos llenos de líquido y se enumeran los tipos de recipientes requeridos en esta tarea con las letras A, B, y C,  los cuales cumplen con la condición de A > B y B > C .El primero (A) es vertido en dos recipientes más pequeños (B), de igual manera tamaño entre ellos y se cuestiona al niño si la cantidad de líquido sigue siendo la misma. Si hace falta, se vierte el líquido de uno de los recipientes tipo (B) en otros dos o tres más pequeños y de igual tamaño (C); se puede proceder a todas las transformaciones posibles y entre cada una se les pregunta a los niños acerca de la igualdad o  no – igualdad respecto del otro recipiente.

De esta forma establecieron tres etapas en la conservación de cantidades discontinuas:

Primera etapa: Ausencia de conservación. Para quienes se encuentran en esta etapa, la cantidad de líquido cambia conforme a la forma o número de recipientes donde fue vertido. Por lo tanto, los cambios percibidos son la causa de este cambio.

Esta reacción es una de las más primitivas respecto al problema de la conservación de cantidades:

El sujeto de ninguna no está de ninguna manera dispuesto a admitir que una misma cantidad de líquido puede permanecer invariante a través de los cambios de forma concomitantes con su traslado de un vaso a otro (Piaget y Szeminska, 1996: p.23).

Si aún no han evidenciado la conservación de cantidad es porque ni siquiera han llegado a construir la noción de cantidad misma.

Segunda   etapa:   Respuestas   intermedias.   Esta   etapa   es   considerada   de transición debido a que, pareciera que el niño puede expresar la conservación en el primer trasverse, pero si se continúa realizándolos y cuestionando al niño al respecto o aumenta la cantidad de recipientes cae nuevamente en la no conservación.

Esta etapa comienza a aparecer la multiplicación de relaciones y la partición, pero en el sujeto aún hay limitantes que superará hasta la etapa siguiente, y aún no puede:

…Comprender que toda elevación de nivel se ve compensada por una disminución en la anchura, siendo la elevación de nivel y anchura dos valores inversamente proporcionales entre sí. (Piaget y Szeminska, 1996: p.28).

 

Tercera etapa: conservación necesaria. En esta etapa se encuentra la culminación de clasificación de igualdades y seriación de diferencias (aditivas o multiplicativas) que desembocan en la constitución de diferencias intensivas y en la aritmetización de los agrupamientos lógicos.

Lo realizado por Piaget y Szeminska (1996) para abordar la noción de conservación de cantidades continuas servirá como base a esta investigación para el diseño y análisis de las actividades “Un trasvase” aplicada en el cuestionario y “Travases de líquidos”, la cual es parte de las entrevistas inicial y final, es importante aclarar que estas actividades se adaptaran con cuentan o otros materiales ya que son niños ciegos.

 

b) Conservación de cantidades discontinuas y correspondencia término a término (biunívoca)

Las experiencias anteriores se repiten al operar con cantidades discontinuas dando lugar a las mismas evaluaciones realizadas con los líquidos y permiten observar el desarrollo de correspondencia biunívoca y recíproca que constituyen una de las fuentes del número.

El método es similar al anterior, difiere en cuanto a solicitar al niño llenar un recipiente al colocar perlas como el entrevistador pone en otro vaso, posteriormente se cuestiona al niño acerca de la igualdad en la cantidad utilizada por ambos. También se hacen preguntas respecto a la cuantificación al construir collares y comparar su longitud.

Se distinguen tres etapas paralelas a las mencionadas en la conservación de cantidades continuas.

Primera  atapa:  Ausencia  de  conservación.  Aquí  las  cantidades  son  evaluadas mediante relaciones perceptivas no coordinadas. La consideración de las cantidades discontinuas agrega un elemento nuevo: se considera que una colección aumenta o disminuye según la forma que toma del recipiente que la contiene aún siendo discreta.

La correspondencia término a término y la enumeración son para el niño de esta  etapa  una  forma  menos  segura  de  evaluación  directa  que  las  percepciones globales. En este momento los niños que ya hacen una numeración meramente verbal (por conocerla de su medio social) y sin significación operatoria.

Segunda etapa: Comienzo de constitución de los conjuntos permanentes. En ella comienza la constitución de conjuntos permanentes, hay un desenvolvimiento de la noción de conservación, el niño se encuentra en un punto intermedio entre la cantidad bruta sin invariancia y la cuantificación propiamente dicha.

Ocurre también una necesidad de conservación al estar frente al hecho de haber construido dos colecciones iguales por medio de correspondencia, depositadas en recipientes iguales pero percibidas como diferentes. Para resolver esta disyuntiva.

…efectúa una síntesis entre la equivalencia real y las variaciones aparentes por medio de una coordinación de las relaciones en cuestión y esta coordinación se presenta también bajo la forma de multiplicación simplemente lógica, para prolongarse después en una disposición de proporciones, culminando en la tercera etapa (Piaget y Szeminska, 1996. p.49)

Tercera etapa: conservación y coordinación cuantitativa. En esta etapa se presenta la conservación y coordinación cuantitativa al concebir la equivalencia entre dos colecciones que se han puesto en correspondencia biunívoca sin importar los cambios de forma que se pudieran ocurrir, con lo cual se han coordinado las relaciones perceptivas.

Lo abordado hasta aquí en este apartado fundamenta el diseño y análisis de las actividades “¿Dónde hay más?”, la cual es parte del cuestionario y “Una y una” aplicada en las entrevistas.

Este segundo experimento incorporó un rasgo de importancia más específico para el estudio del desarrollo del número debido a que enfrenta a los niños a impresiones perceptuales contradictorias aún cuando el método de la correspondencia uno a uno es una forma segura de establecer la equivalencia cardinal de los conjuntos sin contarlos.

Piaget y Szeminska (1996) plantean el problema de la correspondencia como parte del análisis del comienzo de la cuantificación y mencionan que la función desempeña por la correspondencia en la síntesis del número se revela tanto en el cálculo digital (con los dedos) como en el intercambio de uno con uno. Para ello estudiaron la correspondencia entre objetos heterogéneos pero cualitativamente complementarios, esta correspondencia es provocada por circunstancias exteriores, por ejemplo, colocar un huevo por cada huevera, un vaso por cada botella, una flor por cada florero, etc.

Tomando éstos como base, se diseñaron para nuestro estudio las actividades “Una  flor,  un  florero”  y  ¿Son  suficientes?  Aplicadas  en  el  cuestionario  y  las entrevistas respectivamente. Para el análisis de ellas se considera lo que mencionaremos a continuación.

Con este experimento se observaron las siguientes reacciones de los niños: Inicialmente, se conforma con hacer tosca aproximación a la hilera presentada. En una etapa intermedia emplea de manera espontánea la correspondencia buinívoca para reproducir el valor cardinal sin contar los objetos; sin embargo, basta con modificar la correspondencia óptica para hacer dudar al niño de la equivalencia cardinal y caer nuevamente en la creencia de que la hilera más larga contiene más objetos. Para la tercera etapa, otra vez recurre a la correspondencia uno a uno pero, a diferencia de la anterior, se mantiene a pesar de ser alterada en su distribución.

Con estos estudios se observa un esquema general de la adquisición de la noción de conservación, centradas en configuraciones perceptivas o imaginadas, seguidas en los niveles operatorios de reacciones fundadas en la identidad y la reversibilidad por inversión o por reciprocidad (Piaget e Inhelder, 1978b).

 

c) Correspondencia espontánea y valor cardinal de los conjuntos

En este apartado se tratará un tipo de correspondencia superior, designada por Piaget y Szeminska (1996) como “correspondencia cuantitativa”, debido a que su punto terminal es la noción de equivalencia necesaria y durable de los conjuntos correspondientes. A diferencia de la correspondencia biunívoca y recíproca que pertenecen a un tipo inferior por ser de orden intuitivo.

Para analizar el mecanismo de la correspondencia misma se le plantean al niño situaciones en las que se vea obligado a inventar por sí mismo la correspondencia y utilizarla de la manera que considere más conveniente. Y así constatar los tipos de correspondencia empleados y momentos anteriores y posteriores a la correspondencia término a término. Para lograr esto no se utiliza material que implique una correspondencia impuesta por la complementariedad cualitativa, sino objetos de la misma naturaleza.

El método utilizado consiste en presentar a los niños una serie de montones de fichas y figuras para pedirle que, utilizando fichas, las reproduzca y de esta forma se puede observar de qué manera se realiza la cuantificación, sin tener una interferencia directa de la comparación cualitativa.

Los resultados  muestran tres etapas:

Comparación cualitativa global.   En la primera, no hay necesidad de una evaluación cuantitativa, el niño se limita a comparaciones cualitativas globales sin coordinación entre sí; ocurre también una coordinación intuitiva y por lo tanto perceptiva por lograr una semejanza global entre copia y modelo.

Correspondencia cualitativa de orden intuitivo. Es una correspondencia fundada en cualidades de elementos que se corresponden, sin cuantificación. Es de orden intuitivo por estar basada en percepciones y el sujeto no conserva fuera del campo perceptivo.

Correspondencia operatoria (cualitativa y numérica). Hace abstracción de las cualidades de las partes y las considera como otras tantas unidades. Esta correspondencia está formada por la relaciones de orden intelectual y sus signos distintivos son la conservación y la reversibilidad.

Con base a lo mencionado en este apartado se diseñó para esta investigación la actividad “Cuenta los cuadritos” llevada a cabo en las entrevistas inicial y final.

 

1.2  Noción de seriación e inclusión de clases

En esta noción se agrupan objetos sus diferencias ordenadas. De esta manera se da cuenta de tres etapas: no seriación, seriación empírica (con ensayo y error) y seriación sistemática u operacional (Pieget e Inhelder, 1978a).

Para observar cómo se va desarrollando esta noción se utilizaron 10 muñecas de diferentes alturas y 10 bastones también de alturas distintas, con este material, se pidió al niño que colocase a cada una de las muñecas el bastón que le corresponde.

Los hallazgos fueron los siguientes:

En una etapa inicial, a los niños no les era posible construir una serie con lo que se observa una carencia de irreversibilidad intrínseca a los elementos de la serie.

En un segundo nivel, los niños que pueden establecer una correspondencia ordinal (asignar a cada muñeca el bastón que le corresponde), sin embargo, basta destruir la correspondencia perceptual para notar su incapacidad de reconstruirla. Este hecho se explica así: Era como si confundiesen de alguna manera el número ordinal buscado con el número cardinal de aquél que era más pequeño respecto al buscado.

En la tercera atapa se puede observar que la serie se construye sin vacilación y operando de manera simultánea muñecas y bastones.

La construcción de la correspondencia serial, o similitud cualitativa, termina en un sistema de operaciones propiemente dichas, susceptibles de coordinar las relaciones inversas y directas. Piaget y Szeminska, 1996, p. 133

La noción de seriación la abordamos en el cuestionario y los planteamientos de Piaget y Szeminska ayudaron en el diseño y análisis de la actividad “De chico a grande” en el instrumento mencionado.

 

1.3 Estructuras de agrupación y constitución de número natural

A la formación de operaciones corresponde también la constitución de estructuras  operacionales  de  conjunto  que  se  manifiestan  de  forma  espontánea  y pueden proceder sólo de manera progresiva. Dado lo anterior, se considera agrupamiento a un sistema que mediante una operación dada puede incluir otros elementos, ser invertido el producto (de la operación) y su inversa es una operación idéntica por no agregar ni quitar nada con la segunda operación; esto último limita a la movilidad del sistema (Piaget e Inhelder, 1978a).

La composición aditiva de las clases. La seriación de las relaciones y la generalización operatoria del número se constituyen de manera sincrónica hacia los 6- 7 años, se supera el nivel pre-lógico; es en este momento cuando el niño alcanza el nivel de la operación reversible y simultáneamente es capaz de incluir, seriar y enumerar. Es así como se ha complementado la construcción operatoria aplicada: las equivalencias, las diferencias o las equivalencias, las diferencias o las equivalencias y diferencias reunidas. Al desarrollar lo anterior, va teniendo lugar la función del mecanismo aditivo en sí mismo (Piaget y Szeminska, 1996).

Número natural. Con la constitución de estructuras que permiten el desarrollo de operaciones observables en cada una de sus etapas al aparecer ciertos criterios como son las invariantes, las colecciones figurales, las colecciones ulteriores, la combinación de procedimientos ascendentes y descendentes, la seriación, todas ellas ocurren de manera progresiva y su construcción ulteriores, la combinación de procedimientos  ascendentes  y  descendentes,  la  seriación,  todas  ellas  ocurren  de manera progresiva y su construcción conduce a la serie de los números naturales. Lo que  constituye  el  número  es  la  síntesis  de  agrupamientos  (clases,  inclusión) abstracción y orden serial (Piaget e Inheler, 1978a).

La teoría Piagetiana abordada hasta aquí, coadyuva para nuestro estudio con lo siguiente:

·    El diseño de los instrumentos de inicio y fin de la toma de datos, es decir, el cuestionario y las entrevistas.

·    El análisis de los datos obtenidos con los instrumentos mencionados en el punto anterior.

·    Con lo anterior, determinar el nivel de desarrollo de número natural en los niños al inicio y fin del estudio.

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